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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Die Tangente $ g$ an die Parabel

$\displaystyle y = x(1-x) $

schneidet die positive $ x-\!$ bzw. $ y-\!$Achse im Punkt $ A$ bzw. $ B$.


\includegraphics[width=.6\linewidth]{TdM_13_A1_bild}


Geben Sie die Gleichung von $ g$ in Abhängigkeit von der $ x-\!$Koordinate $ t > 1/2$ des Berührpunkts $ P$ an. Für welchen Punkt $ P_{\min}$ ist die Fläche $ F$ des Dreiecks $ \bigtriangleup (O, A, B)$ minimal, und wie groß ist die minimale Fläche $ F_{\min}$?

Antwort:
$ g$ für $ t = 3/4$: $ y$ $ =$ $ x$ +
$ P_{\min}$ $ =$ $ \big($, $ \big)$,          $ F_{\min}$ $ =$
(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Lösung:

Die Punkt-Steigungsform der Tangente im Punkt $ P=(x_0, y_0)$ ist

$\displaystyle \dfrac{y - y_0}{x - x_0} = s\ . $

Mit $ x_0 = t$, $ y_0 = t - t^2$ und $ s = 1-2t$ erhält man

$\displaystyle y - (t - t^2) = (1-2t) (x - t) $

bzw.

$\displaystyle y = (1-2t) x + t^2. $

Setzen von $ y = 0$ bzw. $ x = 0$ ergibt
$ A = \left( \dfrac{t^2}{2t - 1}, 0 \right) $


bzw.


$ B = \left( 0\,,t^2\right)\ . $
Damit ist
$ F(t) = \dfrac{t^4}{4t - 2}\ , \quad t>\dfrac{1}{2}\ .$

Nullsetzen der Ableitung führt auf

$ 0 = F'(t) = \dfrac{4 t^3 (4t - 2) - 4 t^4}{(4t - 2)^2}$ $ \quad \Longleftrightarrow \quad 0 = 12 t^4 - 8 t^3 $
mit der zulässigen Lösung

$\displaystyle t = \dfrac{2}{3}\ . $


Da $ F(t) \rightarrow \infty $ für $ t \rightarrow 1/2 $ und $ t \rightarrow \infty$, folgt

$ P_{\min} = \left(\dfrac{2}{3} , \dfrac{2}{9}\right) \approx (0.667, 0.222) $


und

$\displaystyle F_{\min} = F\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{(2/3)^4}{8/3 - 2} = \dfrac{8}{27}\ \approx 0.296\ . $

[Aufgabe der Woche]