[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] | ||
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: | ||
Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche |
Aufgabe:
Dargestellt ist ein regelmäßiges Sechseck mit Kantenlänge 1, bei dem alle
Ecken miteinander verbunden sind.
Bestimmen Sie die Längen der Strecken und die Flächen der Drei- und Vierecke, die beim Verbinden aller Ecken entstehen.
Antwort:
Länge der Strecken
,
,
,
Flächeninhalte
,
,
(auf drei Dezimalstellen gerundet)
Lösung:
Obige Raute wird durch die waagrechte Linie in zwei spiegelgleiche Teile zerlegt (womit sich die eingetragenen Winkel ergeben). Deshalb ist und woraus und folgt.
ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit Kantenlänge also ist Es gilt woraus wegen sofort folgt. Schließlich ist und somit
Unter Ausnutzung der Symmetrien lassen sich die drei
Flächen auch so wie hier gezeigt eintragen.
Bei der Berechnung der Streckenlängen hat sich als Höhe des Dreiecks
ergeben. Sein Flächeninhalt ist also
Folglich ist
Zieht man noch zusätzlich die dritte Seitenhalbierende ein, so folgt wieder unter Ausnutzung der vorhandenen Symmetrien, dass alle entstehenden Flächen gleich groß sind und damit Zusammen mit ergibt sich dann: