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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 116: Aussagen über differenzierbare Funktionen, Multiple Choice

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Sei $ I=(a,b)$ ein (nichtleeres) offenes Intervall und $ \xi$ ein Punkt in $ I$. Die Funktion $ f: I\longrightarrow\mathbb{R}$ sei auf ganz $ I$, die Funktion $ g: I\longrightarrow\mathbb{R}$ auf $ I\setminus\{\xi\}$ differenzierbar.

Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind, und begründen Sie Ihre Antworten.

$ f^{(n+1)}(x)=0,\, \forall\, x\in I \ \Longrightarrow \ f$ ist ein Polynom vom Grad $ \leq n$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
Es gibt mindestens ein $ x\in I$ mit $ f(x)=0$ oder $ f'(x)=0$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ f$ besitzt ein relatives Extremum bei $ \xi$ $ \Longleftrightarrow$ $ f'(\xi)=0$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ f(x)\neq 0,\, \forall\, x\in I$ $ \Longrightarrow$ $ 1/f^2$ besitzt die Ableitung $ -2f'/f^3$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ g$ ist bei $ \xi$ stetig $ \Longrightarrow$ $ fg$ ist bei $ \xi$ differenzierbar  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ {\displaystyle{\lim_{x\to \xi+0}\, g'(x) = \lim_{x\to \xi-0}\, g'(x)}}$ $ \Longrightarrow$ $ g$ ist bei $ \xi$ differenzierbar  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $

(Autor: Apprich)

Lösungen:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005