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Mathematik-Online-Lexikon:

Interpolationspolynom in Lagrange-Form

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Funktionswerte $ f_k$ an $ n+1$ paarweise verschiedenen Stützstellen $ x_0,\ldots,x_n$ können eindeutig durch ein Polynom $ p$ vom Grad $ \le n$ interpoliert werden:

$\displaystyle p(x_k) = f_k,\quad k=0,\ldots,n \,. $

Das Interpolationspolynom lässt sich in der Lagrange-Form

$\displaystyle p(x) = \sum_{k=0}^n f_k q_k(x),\quad q_k(x) = \prod_{j\ne k} \frac{x-x_j}{x_k-x_j}, $

darstellen.

\includegraphics[width=.45\linewidth]{interpolation_Bild}

Die Polynome $ q_k$ werden als Lagrange-Polynome bezeichnet. Sie haben im Punkt $ x_k$ den Wert $ 1$ und verschwinden an allen anderen Punkten $ x_j$:

$\displaystyle q_{k}(x_{j})=\delta_{k,j}$

mit $ \delta$ dem Kronecker-Symbol.

Erläuterung:

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  automatisch erstellt am 22.  6. 2016