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Mathematik-Online-Lexikon:

Kegelschnitt


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Der Schnitt eines Doppel-Kegels

$\displaystyle K:\ (x-p)^{\operatorname t}v = \pm\cos{\frac{\alpha}{2}} \,\vert x-p\vert\vert v\vert
$

mit Spitze $ p$ ($ p_3\ne 0$), Richtung $ v$ und Öffnungswinkel $ \alpha$ mit der Ebene $ E:\ x_3=0$ ist eine quadratische Kurve

$\displaystyle K\cap E:\
a_{1,1} x_1^2 +
2a_{1,2} x_1x_2 +
a_{2,2} x_2^2 +
2b_1 x_1 + 2b_2 x_2 + c = 0\,.
$

\includegraphics{b_kegelschnitt_skizze}

Der Typ des Kegelschnitts hängt von der Größe des Winkels $ \beta$ zwischen $ E$ und der Geraden $ p+tv$, $ t\in\mathbb{R}$, ab.

\includegraphics{a_kegelschnitt_1} \includegraphics{a_kegelschnitt_2} \includegraphics{a_kegelschnitt_3}
Ellipse: $ \beta>\alpha/2$ Parabel: $ \beta=\alpha/2$ Hyperbel: $ \beta<\alpha/2$

[Verweise]

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013