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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel einer Umkehrfunktion

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Beispiel (Vgl. Abi 87/2 Analysis, BW):

Gesucht ist die Umkehrfunktion $ f^{-1}(x)$ der Funktion $ f(x)=1-\frac{2e^x}{e^x+1}$, mit $ D_f=\mathbb{R}$ und $ W_f=\mathbb{R}$.


Definitions- und Wertebereich von $ f^{-1}(x)$ können sofort bestimmt werden:

$ D_{f^{-1}}=\mathbb{R}$ und $ W_{f^{-1}}=\mathbb{R}$


Schreibe $ y$ statt $ f(x)$:

$\displaystyle y=1-\frac{2e^x}{e^x+1} $

$\displaystyle 1-y$ $\displaystyle =\frac{2e^x}{e^x+1}$    
$\displaystyle 2e^x$ $\displaystyle =e^x+1-ye^x-y$    
$\displaystyle e^x+ye^x$ $\displaystyle =1-y$    
$\displaystyle e^x(1+y)$ $\displaystyle =1-y$    
$\displaystyle e^x$ $\displaystyle =\frac{1-y}{1+y}$    
$\displaystyle x$ $\displaystyle =\ln\left(\frac{1-y}{1+y}\right)$    

Schreibe $ y$ statt $ x$ und umgekehrt:

$\displaystyle y=\ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) $

Ersetze $ y$ durch $ f^{-1}(x)$

$\displaystyle f^{-1}(x)=\ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) $

(Autor: Jahn)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006