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Mathematik-Online-Lexikon:

Vektoren im Zweidimensionalen

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Zwei Vektoren im $ \mathbb{R}^2$ sind genau dann linear unabhängig, wenn keiner der beiden ein Vielfaches des anderen ist. So sind z. B. die Vektoren $ (1,0)^{\operatorname t}$ und $ (1,1)^{\operatorname t}$ linear unabhängig, denn der Ansatz

$\displaystyle \alpha(1,0)^{\operatorname t}+$ $\displaystyle \beta(1,1)^{\operatorname t}= (0,0)^{\operatorname t}$    

liefert


$\displaystyle \beta =$ $\displaystyle \alpha =0\,.$    

Hingegen sind die Vektoren $ (0,0)^{\operatorname t}$ und $ (2,3)^{\operatorname t}$ linear abhängig, denn

$\displaystyle (0,0)^{\operatorname t}=$ $\displaystyle 0(2,3)^{\operatorname t}$    

bzw.


$\displaystyle 1(0,0)^{\operatorname t}+$ $\displaystyle 0(2,3)^{\operatorname t}= (0,0)^{\operatorname t}\, ;$    

es existiert also eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Drei Vektoren $ u,v,w$ im $ \mathbb{R}^2$ sind immer linear abhängig, denn der Ansatz

$\displaystyle \alpha u +$ $\displaystyle \beta v + \gamma w = 0$    

führt auf ein unterbestimmtes, homogenes lineares Gleichungssystem


$\displaystyle \alpha u_1 +$ $\displaystyle \beta v_1 + \gamma w_1 = 0$    
$\displaystyle \alpha u_2 +$ $\displaystyle \beta v_2 + \gamma w_2 = 0$    

für $ \alpha, \beta, \gamma$, das immer eine nichttriviale Lösung besitzt.

(Autoren: App/Höllig)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006