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Mathematik-Online-Lexikon:

Elektrischer Schaltkreis

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Bezeichnet man in einem elektrischen Schaltkreis mit $ x_i$ die Kreisströme mit Fließrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn, mit $ R_{i,j}$ den gemeinsamen Widerstand der $ i$-ten und $ j$-ten Schleife und mit $ U_i$ die angelegten Spannungen, so ergibt sich aus dem Ohmschen und dem Kirchhoffschen Gesetz das lineare Gleichungssystem

$\displaystyle \sum_{i\sim 0} x_i R_{i,0}\, +\, \sum_{i\sim j} (x_i-x_j)R_{i,j} = U_i. $

Dabei bedeutet $ i\sim j$, dass die $ i$-te und $ j$-te Schleife einen gemeinsamen Widerstand haben. $ x_i-x_j$ ist der Strom durch diesen Widerstand. Mit $ R_{i,0}$, $ i\sim 0$, werden Widerstände bezeichnet, die nur in der $ i$-ten Schleife liegen.

\includegraphics[width=\moimagesize]{b_elektrischer_schaltkreis}

Beispielsweise erhält man für den abgebildeten Schaltkreis das lineare Gleichungssystem

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrr} 150 & -70 & -80 & 0 & 0 \\ -70 & 120 ... ...right) = \left(\begin{array}{c} 110 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -220 \end{array}\right). $

Die Koeffizientenmatrix enthält in der Diagonale jeweils die Summe der zu einer Schleife gehörigen Widerstände und in Position $ (i,j)$ den negativen gemeinsamen Widerstand der Schleifen $ i$ und $ j$. Die Lösung für das betrachtete Beispiel ist

\begin{displaymath} x \approx \left( \begin{array}{r} 1.0157\\ 0.5641\\ 0.0358\\ -0.0940\\ -1.1595 \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

(Autoren: App/Höllig)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 23.  5. 2011