Mathematik-Online-Lexikon: Ebene Bewegungen

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	Ebene Bewegungen

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Übersicht

Wie in der folgenden Abbildung illustriert ist, ist eine Drehung linear.

$\includegraphics[width=.4\linewidth]{b_drehung_bild1}$ $\includegraphics[width=.4\linewidth]{b_drehung_bild2}$

Die Summe bildet mit den beiden Vektoren ein Dreieck, dessen Form durch die Drehung unverändert bleibt, d.h., die Summe kann vor oder nach der Drehung gebildet werden. Dass eine Streckung um einen Faktor $\lambda$ mit der Drehung vertauschbar ist, ist unmittelbar ersichtlich.

Analog lässt sich veranschaulichen, dass auch eine Spiegelung linear ist.

$\includegraphics[width=.4\linewidth]{b_spiegelung_bild1}$ $\includegraphics[width=.4\linewidth]{b_spiegelung_bild2}$

Eine Verschiebung von Punkten in der Ebene ist jedoch nicht linear. Weder die Additivität noch die Homogenität ist erfüllt. Für

$\displaystyle T:\ (x_1,x_2)\mapsto (x_1+1,x_2)$

und

$\displaystyle v_1 = (1,0),\, v_2 = (0,1),\,\lambda=2$

gilt beispielsweise

$\displaystyle T(v_1+v_2) = (2,1)$	$\displaystyle \ne$	$\displaystyle (3,1) = T(v_1) + T(v_2)$
$\displaystyle T(\lambda v) = (3,0)$	$\displaystyle \ne$	$\displaystyle (4,0) = \lambda T(v)\, .$

(Autoren: Höllig/Hörner)

[Verweise]

automatisch erstellt am 25. 1. 2006