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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Satz von Stokes in der Ebene

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Wir betrachten das ebene Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}(x,y)=\left(\begin{array}{c} ax+by\\ cx+dy\end{array}\right) $

auf der Einheitskreisscheibe

$\displaystyle K: x_1^2+x_2^2\leq 1\,. $

Für die linke Seite im Satz von Stokes erhält man

$\displaystyle \iint\limits_{K} (\partial_x F_y - \partial_y F_x)\,dK =\iint\limits_{K} c-b\,dK = \pi(c-b)\,. $

Parametrisiert man den Rand von $ K$ mit

\begin{displaymath} \vec{r}(t)=\left( \begin{array}{c} \cos t\\ \sin t\\ \end{array}\right),\quad t\in[0,2\pi]\,, \end{displaymath}

so erhält man für die rechte Seite ebenfalls

$\displaystyle \int\limits_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}$ $\displaystyle = \int\limits_0^{2\pi} \left( \begin{array}{c} a\cos t+b\sin t\\ ... ...y}\right)\cdot\left( \begin{array}{c} -\sin t\\ \cos t\\ \end{array}\right)\,dt$    
  $\displaystyle =\int\limits_0^{2\pi} -a\sin t\cos t - b\sin^2 t + c\cos^2 t + d\sin t\cos t\,dt$    
  $\displaystyle = \pi(c-b)\,,$    

da

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi} \sin t\cos t \,dt = 0,\quad\int\limits_0^{2\pi} \sin^2 t\,dt = \int\limits_0^{2\pi} \cos^2 t\,dt =\pi\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 9. 10. 2013