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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Konstruktion eines Potentials


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Es wird das Potential $ U$ des Vektorfeldes

\begin{displaymath}
\vec{F}=\left(
\begin{array}{c}
2x+3z-yz\\
-2y-xz\\
2+3x-xy\\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

gesucht.

Integration von $ F_x$ nach $ x$ liefert

$\displaystyle \int F_x\,dx = \int 2x+3z-yz \,dx = \underbrace{x^2 +3xz -xyz}_{U_1(x,y,z)}
+\,C_1(y,z)\,.
$

Durch Integration nach $ y$ erhält man

$\displaystyle \int F_y - \partial_y U_1\,dy = \int -2y -xz +xz\,dy =
\underbrace{-y^2}_{U_2(y,z)} +\,C_2(z)\,,
$

und Integration nach $ z$ ergibt schließlich

$\displaystyle \int F_z - \partial_z U_1 -\partial_z U_2\,dz =
\int 2 +3x -xy -3x +xy \,dz = \underbrace{2z}_{U_3(z)} +\,c\,.
$

Somit ist das Potential

$\displaystyle U(x,y,z)=U_1(x,y,z) + U_2(y,z) + U_3(z) + c = x^2+3xz-xyz-y^2+2z+c\,,
$

mit $ c\in\mathbb{R}$.

siehe auch:


  automatisch erstellt am 9. 10. 2013