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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Tangentialebene

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Sei $ f$ eine stetig differentierbare Funktion und $ (p_1,\ldots,p_n )$ ein Punkt auf der durch

$\displaystyle f\left(x_1,\ldots,x_n\right) = c $

implizit definierten Fläche. Ist $ \operatorname{grad}f(p)\neq 0\,,$ so hat die Tangentialebene im Punkt $ P$ die Gleichung

$\displaystyle E :\quad \left(\operatorname{grad}f(p)\right)^{\operatorname t}\,(x-p) = 0 \,. $

Der Normalenvektor ist also parallel zu $ \operatorname{grad}f$.
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{a_tangentialebene2}
Speziell ist für den Graph einer Funktion $ y = g\left( x_1 \,, \ldots \,, x_{n-1} \right)$

$\displaystyle E : \quad y-g(q) = \sum_{i=1}^{n-1} \partial_i g(q) \left( x_i-q_i \right) $

die Gleichung der Tangentialebene im Punkt $ \left( q_i \,, \ldots \,, q_{n-1} \,,g(q) \right)^{\operatorname{t}}$. Die partielle Ableitung $ \partial_i g$ entspricht somit der Steigung der Tangentialebene in Richtung der $ i$-ten Koordinatenachse.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013