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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Arbeitsintegral

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Für einen Weg $ {C}$ mit regulärer Parametrisierung

$\displaystyle [a,b] \ni t \mapsto \vec{r }(t) = \left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\\ z(t) \end{array}\right) $

und ein Vektorfeld $ \vec{F}(x,y,z)$ wird mit

$\displaystyle \int\limits_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int\limits_a^b \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt $

das Arbeitsintegral bezeichnet.

\includegraphics[width=.5\linewidth]{a_arbeitsintegral_bild}

Es entspricht dem Kurvenintegral der Projektion von $ \vec{F}$ in tangentialer Richtung,

$\displaystyle \vec{F}\cdot \left(\vec{r}\,'\right)^\circ \,,\quad \left(\vec{r}\,'\right)^\circ = \frac{ \vec{r}\,'}{\vert\vec{r}\,'\vert} \,, $

und ist unabhängig von der Parametrisierung bei gleichbleibender Orientierung des Weges. Bei Umkehrung der Durchlaufrichtung ändert sich das Vorzeichen des Integrals.

In Komponentenschreibweise hat das Arbeitsintegral die Form

$\displaystyle \int\limits_C F_x\,dx + F_y\,dy+F_z\,dz $

mit $ dx=x'(t)\,dt\,,\,dy=y'(t)\,dt\,,\, dz=z'(t)\,dt$.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013