Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Integralsatz von Green

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Ist $ \vec{F}$ ein stetig differenzierbares bivariates Vektorfeld auf einem regulären ebenen Bereich $ A$ mit orientiertem Rand $ C$ , so gilt

$\displaystyle \iint\limits_A \operatorname{rot} \vec{F} \, dA = \int\limits_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} \,, $

wobei $ \operatorname{rot} \vec{F} = \partial_x F_y -\partial_y F_x$ . Diese auf Green zurückgehende Identität ist ein Spezialfall des Satzes von Stokes.

Die Glattheitsvoraussetzungen können abgeschwächt werden, indem man die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert.

Der Satz ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Hauptsatz für zweidimensionale Integrale. Dieser besagt, dass

$\displaystyle \iint\limits_A \partial_x g = \int\limits_C g\,\vec{n}_x^0\,,\qquad \iint\limits_A \partial_y h = \int\limits_C h\,\vec{n}_y^0$

mit $ (\vec{n}_x^0,\vec{n}_x^0)$ der nach außen gerichteten Einheitsnormalen von $ A$. Berücksichtigt man, das

$\displaystyle \vec{n}(t)=\left(\begin{array}{r}y'(t)\\ -x'(t)\end{array}\right),\quad \vec{n}^0=\vec{n}/\vert\vec{n}\vert $

sowie die Definition des Linienelements

$\displaystyle dC=\vert\vec{n}(t)\vert\,dt$

so erhält man den Integralsatz von Green durch Substitution von $ g=F_y$ und $ h=-F_x$ in den beiden obigen Identitäten:

$\displaystyle \iint\limits_A \partial_x g - \partial_y h =\int\limits_C \left(... ...\vec{n}\vert}\right) \vert\vec{n}\vert\,dt =\int\limits_C \vec{F}\cdot\vec{dr} $

[Zurück]
  automatisch erstellt am 9. 10. 2013