Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Potential eines Gradientenfeldes

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Ist

$\displaystyle \vec{F} = \operatorname{grad}U \,, $

so bezeichnet man $ U$ als Potential des Vektorfeldes $ \vec{F}$. Für ein solches Gradientenfeld ist das Arbeitsintegral wegunabhängig und kann als Potentialdifferenz berechnet werden. Für jeden Weg

$\displaystyle C:\quad t \mapsto \vec{r}(t)\,,\quad t\in[a,b]\,, $

von $ A:\vec{a}=\vec{r}(a)$ nach $ B: \vec{b}=\vec{r}(b)$ gilt

$\displaystyle \int\limits_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} = U(B)-U(A)\,, $

wobei in Anlehnung an die Schreibweise einer Stammfunktion für $ U(B)-U(A)$ auch $ \left[U\right]_A^B$ geschrieben wird.

Insbesondere ist $ \int\limits_{C}\vec{F} \cdot d\vec{r}=0$ für geschlossene Wege $ C$.

Definiert man $ \psi(t)=U(\vec{r}(t))$, so gilt nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

$\displaystyle U(B)-U(A) =\psi(b)-\psi(a)=\int\limits_a^b \frac{d}{dt}\,\psi(t)\,dt \,, $

und nach der Kettenregel ist

$\displaystyle \frac{d}{dt}\psi(t)= \operatorname{grad} U \cdot \vec{r}\,'(t)\,. $

Wegen $ \operatorname{grad} U = \vec{F}$ folgt

$\displaystyle \int\limits_a^b \frac{d}{dt}\,\psi(t)\,dt = \int\limits_a^b \vec{F} \cdot \vec{r}\,'(t)\,dt = \int\limits_C \vec{F}\cdot d\vec{r}\,. $

[Zurück]
  automatisch erstellt am 9. 10. 2013