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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Integrabilitätsbedingung

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Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld $ \vec{F}$ auf einer offenen Menge $ D$ ist

$\displaystyle \operatorname{rot} \vec{F} =0 $

notwendig für die Existenz eines Potentials. Ist $ D$ einfach zusammenhängend, so ist die Wirbelfreiheit ebenfalls hinreichend.
Die Notwendigkeit folgt unmittelbar aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen. Ist $ \vec{F}=\operatorname{grad}U$, so folgt

$\displaystyle \partial_iF_j-\partial_jF_i= \partial_i\partial_j U - \partial_j\partial_i U = 0\,. $

Ist $ D$ einfach zusammenhängend, so berandet jede geschlossene Kurve $ C$ eine Fläche $ S$ in $ D$. Der Satz von Stokes,

$\displaystyle \int\limits_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint\limits_S \operatorname{rot} \vec{F}\cdot d\vec{S} =0\,, $

impliziert damit die Wegunabhängigkeit.
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  automatisch erstellt am 9. 10. 2013