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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Householder-Transformation

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Eine Householder-Transformation

$\displaystyle x \mapsto Qx = x - \frac{1}{r} (d^t x) d $

mit

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} d &=& (\begin{array}{cccc} c_1+\sigma... ...ight. \\ r &=& \vert d_1\vert\,\Vert c\Vert _2 \end{array} \end{displaymath}

ist eine Spiegelung, die den Vektor $ c$ auf $ -\sigma\Vert c\Vert _2 e_1 $, d.h. auf ein Vielfaches des ersten Einheitsvektors abbildet.

Normalerweise wird die Householder-Transformation gleichzeitig auf alle Spalten der Matrix angewandt

$\displaystyle A \mapsto A -d \left(d^t A \right)/r\,, $

wobei $ c=A(:,1)$ gewählt wird. Dadurch werden die Einträge $ a_{2,1} ,a_{3,1}, \ldots $ zu null.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013