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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Extremwerttest

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Der Typ eines Extremwerts lässt sich mit Hilfe höherer Ableitungen entscheiden.

\includegraphics[width=6cm]{extremwert.eps}

Ist $ f$ zweimal stetig differenzierbar und

$\displaystyle f^\prime(a) = 0\,, \qquad f^{\prime \prime} (a) > 0 \qquad (f^{\prime \prime} (a) < 0)\,, $

so hat $ f$ ein lokales Minimum (Maximum) bei $ a$ . Verschwindet die zweite Ableitung an der Stelle $ a$ , so müssen höhere Ableitungen zur Entscheidung herangezogen werden. Gilt

$\displaystyle f'(a) =f''(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0$   und$\displaystyle \quad f^{(n)}(a) \neq 0\,, $

so hat $ f$ in $ a$ genau dann eine Extremstelle, wenn $ n$ gerade ist. In diesem Fall hat $ f$ in $ a$ ein lokales Maximum bzw. Minimum, wenn $ f^{(n)}(a)<0$ bzw. $ f^{(n)}(a)>0$ ist.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013