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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Hinweis zu

Aufgabe 1352: Gaußscher Integralsatz

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Es sei $ B=\{ (x,y,z)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^3 \, \vert \, x^2+y^2 \leq 4, \, 0 \leq z \leq 4 - x^2-y^2 \}$ . Berechne für das Vektorfeld $ f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definiert durch $ f(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z)^\mathrm{t}$ das Integral

$\displaystyle \int_{\partial B} f $

  1. direkt,
  2. mittels des Gaußschen Integralsatzes.

Dabei sei der Rand $ \partial B$ so parametrisiert, daß der Normalenvektor stets nach außen zeige.

  1. Beachte, daß sich der Rand von $ B$ aus der Kreisscheibe in der $ xy$ -Ebene mit Radius 2 um den Ursprung und dem Paraboloid $ z=4-x^2-y^2, \; z\geq 0$ , zusammensetzt. Parametrisiere nun zwei Flächen so, daß $ \partial B$ der Vereinigung der Träger dieser Flächen entspricht, und achte darauf, daß die Normalenvektoren jeweils nach außen zeigen.

  2. Verwende bei der anstehenden Integration Zylinderkoordinaten.
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006