Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Matrizen-Determinanten-Determinante als antisymmetrische Multilinearform

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	Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Matrizen - Determinanten
	Determinante als antisymmetrische Multilinearform

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Die Determinante

$\displaystyle \operatorname{det} A = \operatorname{det}(a_1,\ldots,a_n)$

einer quadratischen Matrix

mit Spalten

kann durch folgende Eigenschaften definiert werden.

Multilineariät:

$\displaystyle \operatorname{det}(\ldots,\alpha a_j+\beta b_j,\ldots) = \alpha ... ...ame{det}(\ldots,a_j,\ldots) + \beta \operatorname{det}(\ldots,b_j,\ldots)\, .$
Antisymmetrie:

$\displaystyle \operatorname{det}(\ldots,a_j,\ldots,a_k,\ldots) = -\operatorname{det}(\ldots,a_k,\ldots,a_j,\ldots) \,.$
Normierung:

$\displaystyle \operatorname{det}(e_1,\ldots,e_n) = 1\,, \left(e_k\right)_{\ell}=\delta_{k\ell}\,.$

Mit diesen Regeln lässt sich eine Determinante als Summe

-facher Produkte entwickeln:

$\displaystyle \operatorname{det}A = \sum_{i \in S_n} \sigma(i) a_{i_1,1}\cdots a_{i_n,n}\, ,$

wobei über alle Permutationen $(i_1,\ldots,i_n)$ von $(1,\ldots,n)$ summiert wird und $\sigma$ das Vorzeichen der Permutation bezeichnet.

Man benutzt ebenfalls die Schreibweisen

$\displaystyle \operatorname{det} A = \vert A\vert = \left\vert\begin{array}{c... ...\ \vdots & & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right\vert\, .$

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automatisch erstellt am 14.6.2012