Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] Englische Flagge
Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Normalformen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Algebraische und geometrische Vielfachheit

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Ist $ \lambda$ ein Eigenwert der $ (n \times n)$ Matrix $ A$, dann heißt die Vielfachheit von $ \lambda$ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms $ p_A(\lambda)=\det(A - \lambda E_n)$ die algebraische Vielfachheit $ m_{\lambda}$ des Eigenwerts $ \lambda$.
Die Dimension $ d_{\lambda}$ des Eigenraums $ V_{\lambda}$ eines Eigenwertes $ \lambda$ nennt man die geometrische Vielfachheit von $ \lambda$. Es gilt

$\displaystyle d_{\lambda} \le m_{\lambda}\,, \qquad \sum_{\lambda} m_{\lambda} = n\,, $

sowie

$\displaystyle d_{\lambda} = n - \operatorname{Rang} (A - \lambda E)\,. $

Die Matrizen

$\displaystyle A_1=\left(\begin{array}{rrr}4& 0 &0 \\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 4\end{... ..._3=\left(\begin{array}{rrr}4& 4 &0 \\ 3 & 4 & 6\\ 0 & -2 & 4\end{array}\right) $

haben alle das charakteristische Polynom

$\displaystyle (4-\lambda)^3=(4-\lambda)(5-\lambda)(3-\lambda)+4-\lambda=(4-\lambda)^3+12(4-\lambda)-12(4-\lambda) $

und damit ist jeweils $ m_4=3$. Anhand des Rangs der Matrizen
$\displaystyle (A_1-4E)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}0& 0 &0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{arra... ...\left(\begin{array}{rrr}0& 0 &0 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1 & -1\end{array}\right)\,,$  
$\displaystyle (A_3-4E)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}0& 4 &0 \\ 3 & 0 & 6\\ 0 & -2 & 0\end{array}\right)$  

erkennt man $ d_4=3$ für $ A_1$, $ d_4=2$ für $ A_2$ und $ d_4=1$ für $ A_3$.
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 14.6.2012