Mathematik-Online-Kurs: Vektorrechnung-Skalarprodukt-Kosinussatz

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	Mathematik-Online-Kurs: Vektorrechnung - Skalarprodukt
	Kosinussatz

In einem Dreieck gilt für den der Seite $\overline{AB}$ gegenüberliegenden Winkel $\gamma$

$\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos\gamma\, .$

$\includegraphics[width=.4\linewidth]{a_cosinussatz}$

Als Spezialfall erhält man für $\gamma = \pi/2$ den Satz des Pythagoras: .

Der Beweis benutzt den Satz des Pythagoras.

$\includegraphics[width=.4\linewidth]{e_cosinussatz}$

Es gilt

$\displaystyle c^2 = h^2 + q^2,\quad h^2 = a^2 - p^2$

sowie

$\displaystyle q = b - p,\quad p = a \cos{\gamma}\, .$

Damit erhält man

$\displaystyle c^2$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (a^2-p^2) + (b-p)^2$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle a^2 - p^2 + b^2 -2b(a\cos\gamma) + p^2$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle a^2 + b^2 - 2ab\cos{\gamma} \, ,$

wie gewünscht.

(Autoren: Höllig/Much)

automatisch erstellt am 17.3.2011