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Mathematik-Online-Test:

Vektorrechnung, Test 1

Aufgabe 1:
Im durch die Einheitsvektoren des $ \mathbb{R}^3$ aufgespannten kartesischen Koordinatensystem besitzt der Punkt $ P$ die Koordinaten $ (\sqrt{6},-\sqrt{6},2)$. Bestimmen Sie die Kugel- und Zylinderkoordinaten von $ P$. Welche kartesischen Koordinaten besitzt der Punkt $ P$ nach einer Rechtsdrehung des Koordinatensystems um die $ x$-Achse mit dem Winkel $ \pi/3$?

Antwort:
Kugelkoordinaten von $ P$: $ r=$ ,      $ \varphi=$ $ \pi/$,      $ \vartheta=\pi/$
Zylinderkoordinaten von $ P$: $ \varrho=\big($ $ \big)^{1/2}$,     $ \varphi=$ $ \pi/$,     $ z=$
Kartesische Koordinaten nach Rotation: $ P'=\Big( $,,$ \Big)$

(auf vier Nachkommastellen gerundet)

Aufgabe 2:
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ seien Vektoren im $ \mathbb{R}^3$ . Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
Aus $ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ folgt, dass mindestens einer der beiden Vektoren $ \vec{a}, \vec{b}$ der Nullvektor ist.

b)
Es gilt $ (\vec{a}-\vec{b})\times (\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a}\times \vec{b})$ .
c)
Orthonormalbasen bilden stets Rechtssysteme.
d)
Es gilt $ \big\vert\vert\vec{a}-\vec{c}\vert-\vert\vec{b}-\vec{c}\vert\big\vert\leq \vert\vec{a}-\vec{b}\vert$ .
e)
Ist der Vektor $ \vec{a}$ ein Vielfaches des Vektors $ \vec{b}$ , so gilt $ [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=0$ .

Antwort:
a) wahr      falsch
b) wahr falsch
c) wahr falsch
d) wahr falsch
e) wahr falsch

Aufgabe 3:
Zeigen Sie, dass die Vektoren

$\displaystyle \vec{u}= \begin{pmatrix}6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}... ... 6 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{w}= \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$

paarweise orthogonal sind. Bildet die orthogonale Basis ein Links- oder Rechtssystem?

Keine Angabe ,     Linkssystem ,      Rechtssystem .

Geben Sie die Normierungsfaktoren $ \vert\vec{u}\vert$ , $ \vert\vec{v}\vert$ , $ \vert\vec{w}\vert$ an und bestimmen Sie $ \alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R}$ , so dass gilt

$\displaystyle \frac{\alpha}{\vert\vec{u}\vert}\,\vec{u} + \frac{\beta}{\vert\ve... ...{\vert\vec{w}\vert}\,\vec{w} = \begin{pmatrix}14 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix} \; . $

Antwort:

Normierungsfaktoren:
$ \vert\vec{u}\vert=$ ,      $ \vert\vec{v}\vert=$ ,      $ \vert\vec{w}\vert=$ .

Parameter:
$ \alpha=$ ,     $ \beta=$ ,     $ \gamma=$ .

Aufgabe 4:
Gegeben seien die Punkte $ P=(0,3,-2)$, $ Q=(3,7,-1)$ und $ R=(1,-3,-1)$, die Gerade $ g_1$ durch $ P$ und $ Q$ und die Gerade $ g_2$ durch $ R$ mit dem Richtungsvektor

$\displaystyle \vec{v}= \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \; . $

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $ P$ von der Geraden $ g_2$, sowie den Abstand der Geraden $ g_1$ von der Geraden $ g_2$.

Antwort:

Abstand von $ P$ zu $ g_2$:

Abstand von $ g_1$ zu $ g_2$:

Aufgabe 5:
Gegeben sei die Ebene

$\displaystyle E: \quad \vec{x}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+ \alph... ... \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \; . $

a)
Bestimmen Sie die Gleichungsdarstellung der zu $ E$ parallelen Ebene $ F$ durch den Punkt $ A=(-4,2,2)$ .

b)
Welcher Punkt $ B$ der Ebene $ E$ besitzt den kleinsten Abstand zum Punkt $ A$ und wie groß ist dieser Abstand?

c)
Zeigen Sie, dass der Punkt $ C=(-3,0,4)$ in der Ebene $ F$ liegt und die Punkte $ A,B,C$ ein gleichschenkliges Dreieck bilden. Bestimmen Sie die Längen der Seiten, alle Innenwinkel und die Fläche des Dreiecks.

Antwort:

a)
$ F$ : $ 2x+$ $ y+$ $ z=$ .
b)
$ B=\Big($ , , $ \Big)$ , Abstand: .
c)
$ \big\vert\overrightarrow{AB}\big\vert^2=$ , $ \big\vert\overrightarrow{BC}\big\vert^2=$ , $ \big\vert\overrightarrow{CA}\big\vert^2=$ .
$ \sphericalangle (ABC)=\pi/$ , $ \sphericalangle (BCA)=\pi/$ , $ \sphericalangle (CAB)=\pi/$ .
Dreiecksfläche: /     (Angabe als vollständig gekürzter Bruch).
   
(Konzipiert von Joachim Wipper) automatisch erstellt am 11.8.2017