Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] Englische Flagge
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Aus einem quadratischen Stück Pappe mit einer Kantenlänge von $ 10\ \mathrm{cm}$ soll, wie in der Abbildung illustriert, eine quadratische Pyramide gefertigt werden.
\includegraphics[width=.3\linewidth]{TdM_12_A2_bild1}              \includegraphics[width=.4\linewidth]{TdM_12_A2_bild2}
Antwort:
$ a$ $ =$ cm,          $ h$ $ =$ cm,          $ V_{\max}$ $ =$ cm$ ^{3}$,          $ S$ $ =$ cm$ ^{2}$
(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Lösung:

Bezeichnet $ H$ die Höhe der Dreiecke der Pyramidenoberfläche, so ist

$\displaystyle 2H + a = 10\sqrt{2} $

und

$\displaystyle h = \sqrt{H^2 - (a/2)^2}\, . $

Eingesetzt in die Formel für das Volumen ergibt sich

$\displaystyle V = \dfrac{1}{3}a^2 h = \dfrac{1}{3}a^2 \sqrt{\left(\dfrac{10\sqrt{2}-a}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 } \,. $


Der Einfachheit halber maximiert man

$\displaystyle f(a) = 9 V^2 = a^4 \left(50 - 5\sqrt{2} a\right) \,. $

Aus

$\displaystyle 0 = f'(a) = 200 a^3 - 25\sqrt{2} a^4 $

folgt

$\displaystyle a = 4\sqrt{2} \approx 5.6569 $

als einzige positive Lösung.

Weiter ist

$\displaystyle H = \dfrac{10\sqrt{2} - a}{2} = 3\sqrt{2}\,, %\approx 4.2426\,, $


$\displaystyle h = \sqrt{\left(3\sqrt{2}\right)^2 - \left(2\sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{10} \approx 3.1623\,, $


$\displaystyle V_{\max} = \dfrac{1}{3} \cdot \left(4\sqrt{2}\right)^2 \cdot \sqrt{10} = \dfrac{32\sqrt{10}}3 \approx %0.0337 L^3 = 33.7310\,, $


$\displaystyle S = a^2 + 2aH = 32 + 2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2} %= \dfrac{4}{5}L^2 = 80\,. %= 0.8 L^2 $

[Aufgabe der Woche]