Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Wie viele unterschiedliche Spielwürfel gibt es, wenn man

a)

wie üblich fordert, dass sich die Augenzahlen gegenüberliegender Seiten zu 7 addieren?

b)

keine solche Forderung stellt?

c)

fordert, dass es mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten gibt, deren Augenzahlen sich zu 9 addieren?

Antwort:

a)              b)              c)    

Lösung:

• Gegenüberliegende Seiten ergeben 7 Augen
  1 und 2 liegen auf jeden Fall auf benachbarten Flächen. Also kann jeder Würfel so gedreht werden, dass die 1 oben und die 2 vorne liegt. Damit liegt die 6 unten und die 5 hinten.
  Die Lage von 3 und 4 ist austauschbar.
  Folglich gibt es ohne Berücksichtigung der Anordnung Möglichkeiten, insgesamt also Möglichkeiten.

• Gegenüberliegende Seiten ergeben beliebige Augenzahl
  Man erhält die Gesamtzahl von Möglichkeiten durch folgende Überlegungen:
  • Die Zahl auf der oberen Fläche ist o. B. d. A. die 1.
  • Für die Zahl auf der unteren Fläche bleiben dann noch Möglichkeiten.
  • Die restlichen vier Zahlen können auf Arten verteilt werden. Dabei lassen sich jedoch jeweils Anordnungen durch Rotation um die vertikale Achse ineinander überführen.

• Mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten ergeben 9 Augen
  Dabei ist Folgendes zu berücksichtigen:
  • Die gegenüberliegende Seite der 6 muss die 3 oder die gegenüberliegende Seite der 5 muss die 4 sein.
  • In beiden Fällen gibt es dann wieder Möglichkeiten für die verbleibenden vier Zahlen (vgl. oben).
  • Liegt die 3 gegenüber der 6 und die 4 gegenüber der 5, so gibt es noch Möglichkeiten für die 1 und die 2.
  Insgesamt gibt es also verschiedene Würfel.