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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Welchen Ziffern entsprechen die Buchstaben in dem folgenden Schema einer ,,schriftlichen`` Multiplikation zweier dreistelliger Zahlen?

{\large \begin{tabular}{ccc ccc ccc ccc c} A&B&I&*&T&U&R \\ [+0.5ex] \hline ... ...&I&U&E \\ [+0.5ex] &C&A&H&E \\ [+0.5ex] \hline &C&U&S&E&S&I \end{tabular} }

Hinweis: Verschiedene Buchstaben bezeichnen verschiedene Ziffern.


Antwort:

$ S=$          $ U=$          $ C=$          $ H=$                 
                       
$ A=$          $ R=$          $ B=$          $ E=$          $ I=$          $ T=$         

Lösung:

Die 0 lässt sich zuerst identifizieren. In der vorletzten Spalte wird S + E = S, wobei kein Übertrag aus der letzten Spalte auftreten kann. Daher muss E=0 sein.

Damit enden die Produkte T$ \ast$I und U$ \ast$I mit einer $ 0.$ Da keine der beteiligten Ziffern die 0 ist, entsteht eine 0 nur, wenn die $ 5$ mit einer geraden Ziffer multipliziert wird. Somit muss der in beiden Produkten auftretende Faktor I=5 sein (und die beiden anderen, T und U, müssen gerade sein).

Das Schema hat nun die Gestalt

{\large \begin{tabular}{ccc ccc ccc ccc c} A&B&5&$\ast$&T&U&R \\ [+0.5ex] \... ...&U&0 \\ [+0.5ex] &C&A&H&0 \\ [+0.5ex] \hline &C&U&S&0&S&5 \end{tabular} }

Zur Bestimmung weiterer Ziffern kann man sich zunutze machen, dass eine schriftliche Multiplikation vorliegt. Das bedeutet insbesondere, dass die drei vierstelligen Hilfs-Produkte CTSI, HIUE und CAHE jeweils durch Multiplikation der dreistelligen Zahl ABI mit einer einstelligen Zahl entstehen, also kleiner als ABI$ \ast$10 sind. Daher können die Tausender-Ziffern der Hilfs-Produkte nicht größer sein als A, es gilt also C < A und H < A und somit insbesondere A > 2.

Da zwei Hilfs-Produkte mit gleicher Tausender-Ziffer auftreten, müssen sich deren Hunderter-Ziffern mindestens um A unterscheiden. Es muss also T$ \leq$A - A = 0 oder T$ \geq$A + A = 2A gelten, wobei der erste Fall bereits wegen E=0 ausgeschlossen ist.

Die fünfte Spalte von rechts liefert keinen Übertrag, weshalb die Summen-Ziffer U größer als jeder der beiden Summanden ist, also insbesondere U > A gilt.

Betrachtet man nun die dritte Spalte von rechts, so muss bei der Addition ein Übertrag entstehen. Es ist also 10 = T + U, und mit den bereits ermittelten Abschätzungen ergibt dies

10 = T + U > 2A + A = 3A $ \Rightarrow$ A < 4.

Damit muss A > 2 und A < 4 sein, also A=3, und die Gleichung 10 = T + U lässt unter den Nebenbedingungen U > A = 3 sowie T$ \geq$2A = 6 nur noch U=4 und T=6 zu. Folglich hat das Schema nun die Gestalt

{\large \begin{tabular}{ccc ccc ccc ccc c} 3&B&5&$\ast$&6&4&R \\ [+0.5ex] \... ...&4&0 \\ [+0.5ex] &C&3&H&0 \\ [+0.5ex] \hline &C&4&S&0&S&5 \end{tabular} }

H und C müssen, wie oben erwähnt, beide kleiner als A sein, und aus der fünften Spalte von rechts ergibt sich nun H=1 und somit C=2.

Die vierte Spalte von rechts liefert mit dem Übertrag aus der dritten Spalte von rechts S = C + I + H + 1 = 2 + 5 + 1 + 1, also S=9. Damit bleiben für R die letzte ungerade Ziffer (Produkt mit 5 liefert Endziffer 5), d.h. R=7, und für B nur noch B=8 übrig.

(Dies wird auch durch die Divisionen CAHE/T = 2310/6 = 385 und CUSESI/ABI = 249095/385 = 647 bestätigt.)

[Aufgabe der Woche]