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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

Dargestellt ist ein regelmäßiges Sechseck mit Kantenlänge 1, bei dem alle Ecken miteinander verbunden sind.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{6eck.eps}

Bestimmen Sie die Längen der Strecken und die Flächen der Drei- und Vierecke, die beim Verbinden aller Ecken entstehen.


Antwort:
Länge der Strecken
$ a$ $ =$ ,         $ b$ $ =$ ,         $ c$ $ =$ ,         $ d$ $ =$
Flächeninhalte
$ E$ $ =$ ,         $ F$ $ =$ ,         $ G$ $ =$
(auf drei Dezimalstellen gerundet)

Lösung:

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{l_00_2_bild1}

Obige Raute wird durch die waagrechte Linie in zwei spiegelgleiche Teile zerlegt (womit sich die eingetragenen Winkel ergeben). Deshalb ist $ a=b$ und $ a+b=1,$ woraus $ a=1/2$ und $ b=1/2$ folgt.

$ (d+c)$ ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit Kantenlänge $ 1,$ also ist $ d+c=\sqrt{1-(1/2)^2}=\sqrt{3}/2.$ Es gilt $ \tan(30^\circ)=c/(1/2),$ woraus wegen $ \tan(30^\circ)=1/\sqrt{3}$ sofort $ c=1/(2\sqrt{3}) \approx 0.289$ folgt. Schließlich ist $ d=(d+c)-c$ und somit $ d=\sqrt{3}/2-1/(2\sqrt{3})=1/\sqrt{3} \approx 0.577.$

\includegraphics[width=0.2\linewidth]{l_00_2_bild2}

Unter Ausnutzung der Symmetrien lassen sich die drei Flächen $ E,F,G$ auch so wie hier gezeigt eintragen.
Bei der Berechnung der Streckenlängen hat sich als Höhe des Dreiecks $ \sqrt{3}/2$ ergeben. Sein Flächeninhalt ist also $ \sqrt{3}/4.$ Folglich ist $ \sqrt{3}/4=E+F+2G.$

\includegraphics[width=0.2\linewidth]{l_00_2_bild3}

Zieht man noch zusätzlich die dritte Seitenhalbierende ein, so folgt wieder unter Ausnutzung der vorhandenen Symmetrien, dass alle entstehenden Flächen gleich groß sind und damit $ F=2G=E.$ Zusammen mit $ \sqrt{3}/4=E+F+2G$ ergibt sich dann: $ E=1/(4\sqrt{3}) \approx 0.144,$ $ F=1/(4\sqrt{3}) \approx 0.144,$ $ G=1/(8\sqrt{3}) \approx 0.072.$

[Aufgabe der Woche]