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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Lösung zur Aufgabe der (letzten) Woche

Aufgabe:

#./interaufg60.tex#Einem Kreis mit Radius $ 1$ sind, wie in der Abbildung gezeigt, $ n$ Kreise mit Radius $ r$ einbeschrieben.

\includegraphics{A755_vier_kreise}     \includegraphics{A755_drei_kreise}

Berechnen Sie den Radius $ r$ und den Flächeninhalt $ F$ der grauen Fläche zwischen den Kreisen für $ n = 4$ und $ n = 3$.

Hinweis: In einem gleichseitigen Dreieck teilen sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis $ 2 : 1$.


Antwort:
$ n = 4$:    $ r$ $ =$ ,        $ F$ $ =$
$ n = 3$:    $ r$ $ =$ ,        $ F$ $ =$
(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Lösung:

Fall $ n = 4$:

Die Mittelpunkte bilden ein Quadrat mit Seitenlänge $ l$ und Diagonalenlänge $ d$. Es gilt

$\displaystyle \frac{l}{d} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2r}{2(1-r)}\quad \Rightarrow\quad r = \frac{1}{1+\sqrt{2}} \,. $

Als Fläche ergibt sich

$\displaystyle F = (2r)^2 - 4\frac{\pi r^2}{4} = \frac{4-\pi}{(1+\sqrt{2})^2} \,. $


Fall $ n = 3$:

Die Mittelpunkte bilden ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $ l$ und Höhe $ h$.

$\displaystyle \dfrac{2}{3} h = 1 - r \quad \Rightarrow\quad h = \dfrac{3}{2}\,(1-r) $

$\displaystyle \frac{\strut l}{h} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2r}{(3/2) (1-r)}\quad \Rightarrow\quad r = \frac{3}{3+2\sqrt{3}} \,. $

Für die Fläche gilt

$\displaystyle F = \frac{\sqrt{3}}{4} (2r)^2 - 3\frac{\pi r^2}{6} = \left(\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}\right) \frac{9}{(3+2\sqrt{3})^2} \,. $

[Aufgabe der Woche]