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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1032: Vektorraumeigenschaft des Folgenraums, Unterräume

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Sei $ V$ die Menge aller Folgen $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ in $ \mathbb{R}$, versehen mit der Addition und skalaren Multiplikation

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl@{\qquad {\mbox{f\uml ur alle}} \quad}l} (a... ...\lambda a_n), & \lambda\in\mathbb{R}, \ (a_n)\in V. \end{array}\end{displaymath}

Zeigen Sie, dass $ V$ ein Vektorraum über $ \mathbb{R}$ ist, und untersuchen Sie, welche der folgenden Mengen Unterräume von $ V$ sind.

a) $ \{(a_n)\in V : \ (a_n) \ {\mbox{ist konvergent}} \}$
b) $ \{(a_n)\in V : \ (a_n) \ {\mbox{ist monoton wachsend}} \}$
c) $ \{(a_n)\in V : \ \exists \ n_0\in\mathbb{N} \ \ \forall \ n>n_0 : \ a_n=0 \}$

(Aus: Mathematik I für inf/swt, WS 2004/05)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 7.  6. 2005