Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Aufgabe 1035: Normkonvergenz und komponentenweise Konvergenz

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	Aufgabe 1035: Normkonvergenz und komponentenweise Konvergenz

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Sei $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge in $\mathbb{R}^m$ , d.h. jedes Folgenglied $v_n=(v_{n1},\,\ldots , v_{nm})$ ist ein Punkt in $\mathbb{R}^m$ .

a): Zeigen Sie: Die Folge $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ konvergiert genau dann bezüglich der Norm $\Vert\cdot\Vert _2$ gegen $v:=(v_1,\,\ldots , v_m)\in\mathbb{R}^m$ , wenn $\lim\limits_{n\to\infty}\, v_{nj} = v_j$ , für alle $j\in\{1,\,\ldots , m\}$ .
b): Zeigen Sie: $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist genau dann eine Cauchy-Folge bezüglich $\Vert\cdot\Vert _2$ , wenn alle Folgen $(v_{nj})_{n\in\mathbb{N}}$ mit $j\in\{1,\,\ldots , m\}$ Cauchy-Folgen in $\mathbb{R}$ sind.
c): Folgern Sie aus a) und b), dass $\mathbb{R}^m$ bezüglich der Norm $\Vert\cdot\Vert _2$ vollständig ist.

Hinweis: Verwenden Sie in a) und b) die Abschätzung

$\displaystyle \Vert v-w \Vert _2 \leq \Vert v-w \Vert _1 \leq \sqrt{m}\,\Vert v-w \Vert _2\,, \qquad {\mbox{f\uml ur alle}} \quad v, w\in\mathbb{R}^m.$

(Aus: Mathematik I für inf/swt, WS 2004/05)

[Verweise]

automatisch erstellt am 7. 6. 2005