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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1035: Normkonvergenz und komponentenweise Konvergenz

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Sei $ (v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge in $ \mathbb{R}^m$, d.h. jedes Folgenglied $ v_n=(v_{n1},\,\ldots , v_{nm})$ ist ein Punkt in $ \mathbb{R}^m$.
a)
Zeigen Sie: Die Folge $ (v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ konvergiert genau dann bezüglich der Norm $ \Vert\cdot\Vert _2$ gegen $ v:=(v_1,\,\ldots , v_m)\in\mathbb{R}^m$, wenn $ \lim\limits_{n\to\infty}\, v_{nj} = v_j$, für alle $ j\in\{1,\,\ldots , m\}$.
b)
Zeigen Sie: $ (v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ist genau dann eine Cauchy-Folge bezüglich $ \Vert\cdot\Vert _2$, wenn alle Folgen $ (v_{nj})_{n\in\mathbb{N}}$ mit $ j\in\{1,\,\ldots , m\}$ Cauchy-Folgen in $ \mathbb{R}$ sind.
c)
Folgern Sie aus a) und b), dass $ \mathbb{R}^m$ bezüglich der Norm $ \Vert\cdot\Vert _2$ vollständig ist.

Hinweis: Verwenden Sie in a) und b) die Abschätzung

$\displaystyle \Vert v-w \Vert _2 \leq \Vert v-w \Vert _1 \leq \sqrt{m}\,\Vert v-w \Vert _2\,, \qquad {\mbox{f\uml ur alle}} \quad v, w\in\mathbb{R}^m. $

(Aus: Mathematik I für inf/swt, WS 2004/05)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 7.  6. 2005