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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 107: Nullstellen eines Polynoms

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben ist das Polynom $ p(x)=2x^5-10x^4+10x^3+10x^2-12x-1$.
a)
Zeigen Sie ohne Hilfsmittel aus der Differentialrechnung, daß alle reellen Nullstellen von $ p$ im Intervall $ [-7,7]$ liegen. Dividieren Sie hierzu die Gleichung $ p(x)=0$ durch $ 2x^4$ und untersuchen Sie die Fälle $ \vert x\vert\leq 5$ und $ \vert x\vert>5$.
b)
Berechnen Sie die Funktionswerte von $ p$ an den Stellen $ x_k=\frac{k}{2},\, k\in\{-2,\,-1,\,\ldots , 7\}$. In welchen Teilintervallen $ I_k=[x_k, x_{k+1}]$ liegen die Nullstellen? Warum?
c)
Bestimmen Sie durch fortlaufende Halbierung der in b) ermittelten Startintervalle $ I_k$ Intervalle $ J_k$ der Länge $ \frac{1}{8}$, die jeweils genau eine Nullstelle von $ p$ enthalten.

(Autor: Apprich)

siehe auch:

[Lösungen]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005