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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1178: Orthonormalbasis

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Im $ \mathbb{R}^3$ ist die Basis $ B\colon b_1, b_2, b_3$ mit

$ b_1=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$ ,     $ b_2=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ,     $ b_3=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$

gegeben und $ E$ bezeichne die Standardbasis.

Die lineare Abbildung $ \delta$ ist durch

$ {}_B\delta(e_1)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ,     $ {}_B\delta(e_2)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$ ,     $ {}_B\delta(e_3)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

definiert.

a)
Zeigen Sie, dass $ B$ eine Orthonormalbasis von $ \mathbb{R}^3$ ist.
b)
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung $ _B \delta _B$.
c)
Zeigen Sie, dass $ \delta$ eine orthogonale Abbildung ist.
d)
Berechnen Sie $ \operatorname{det} \left( _E \delta _E \right)$.

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  8. 2008