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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1202: Beweis einer Basis, Konstruktion einer Orthonormalbasis und Bestimmung von Koordinatentupel bezüglich verschiedener Basen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Wir versehen $ \mathbb{R}^3$ mit der aus der Vorlesung bekannten Standardbasis $ {\{}e_j\vert j=1,\ldots,3\}$. Gegeben sind die reellen Zahlen

$\displaystyle \begin{matrix} \alpha_{1,1}=1 & \alpha_{1,2}=0 & \alpha_{1,3}=0\\... ...pha_{2,3}=1\\ \alpha_{3,1}=0 & \alpha_{3,2}=1 & \alpha_{3,3}=0\\ \end{matrix}$

Zeigen Sie, dass die Menge $ B=\big{\{}b_k=\sum_{j=1}^{3}\alpha_{j,k}\,e_j\big\vert k=1,\ldots,3\big{\}}$ eine Basis von $ \mathbb{R}^3$ ist.

Bestimmen Sie das Koordinatentupel des Vektors $ v=\left(-2,0,-3\right)$ bezüglich der Basis $ B$.

Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis $ C=\big{\{}c_j\big\vert j=1,\ldots,3\big{\}}$ so, dass $ \operatorname{Span}{b_1}=\operatorname{Span}{c_1}$, $ \operatorname{Span}{b_1, b_2}=\operatorname{Span}{c_1, c_2}$ und $ \operatorname{Span}{b_1, b_2, b_3}=\operatorname{Span}{c_1, c_2, c_3}$.

Bestimmen Sie das Koordinatentupel des Vektors $ v$ bezüglich dieser Basis $ C$.

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006