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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1209: Herleitung der LU Zerlegung einer Matrix

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
  1. Zeigen Sie, dass das Produkt von oberen (bzw.  unteren) Dreiecksmatrizen wieder eine obere (bzw.  untere) Dreiecksmatrix ist.

  2. Die elementaren Zeilenumformungen des Gaußschen Algorithmus
    1. addieren des $ \lambda$ -fachen der Zeile $ i$ ( $ \lambda\neq 0$ ) zur Zeile $ j$
    2. multiplizieren der Zeile $ i$ mit $ \lambda\neq 0$
    3. vertauschen der Zeilen $ i$ und $ j$
    lassen sich jeweils durch Matrixmultiplikation von links mit einer so genannten Elementarmatrix $ B_{(a),i,j,\lambda}$ , $ B_{(b),i,\lambda}$ und $ B_{(c),i,j}$ darstellen. Finden Sie für jede dieser Umformungen die zugehörige Elementarmatrix $ B_{(a),i,j,\lambda}$ , $ B_{(b),i,\lambda}$ bzw.  $ B_{(c),i,j}$ .

  3. LU Zerlegung. Sei $ A$ eine $ n\times n$ Matrix und

    $\displaystyle A=LU $

    mit einer unteren $ n\times n$ Dreiecksmatrix $ L=(l_{ij})$ mit $ l_{ii}=1$ und einer oberen $ n\times n$ Dreiecksmatrix $ U$ , dann heißt das Paar $ L,U$ die LU Zerlegung von $ A$ .

    Ist $ A$ eine $ n\times n$ Matrix mit $ \operatorname{Rang} A=n$ , die durch Gauß-Elimination ohne Zeilenvertauschungen auf obere Dreicksform gebracht werden kann, so existiert eine LU Zerlegung von $ A$ . In diesem Fall braucht man für den Gaußschen Algorithmus nur Umformungen vom Typ a) und wenn $ B_i$ die zugehörigen Elementarmatrizen bezeichnen, gilt

    $\displaystyle B_rB_{r-1}\dots B_2B_1A = U\,,\quad \textrm { also } A=B_1^{-1}B^{-1}_2\dots B_{r-1}^{-1}B_r^{-1}U $

    Begründen Sie, dass dies eine LU Zerlegung ist und leiten Sie hieraus einen Algorithmus zur Berechnung der LU Zerlegung her. Begründen Sie, warum Ihr Algorithmus das richtige Ergebnis liefert.

    Bemerkung: Diese Zerlegung ist auch unter dem Namen LR Zerlegung bekannt.

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8.  5. 2008