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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1328: Satz von Taylor

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1.
Bestimme das zweite Taylorpolynom $ \mathrm{T}_2(f,0,(x,y)^\mathrm{t})$ von $ f(x,y) = (1 + x + xy)^{-1}$ in $ (0,0)^\mathrm{t}$ .
2.
Wo ist $ \mathrm{T}_2(f,0,(x,y)^\mathrm{t})$ ein bis auf die erste Dezimale genauer Ersatz für $ f(x,y)$ ? Genauer gefragt, verwende das Restglied, um für gegebenes $ 0 < \varepsilon < 0.1$ ein $ r = r(\varepsilon) > 0$ zu finden mit

$\displaystyle \vert f(x,y) - \mathrm{T}_2(f,0,(x,y)^\mathrm{t})\vert \; <\; \varepsilon $

für alle $ (x,y)^\mathrm{t} \in B_r((0,0)^\mathrm{t})$ . (Optimalität dieser Schranke $ r$ ist nicht verlangt.)
3.
Vergleiche mit der Reihenentwicklung, die sich aus Einsetzen von $ z = x+xy$ in die Entwicklung von $ (1 + z)^{-1}$ um 0 ergibt.
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 29.  7. 2009