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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1394: komplexe hyperbolische Funktionen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Es seien

$\displaystyle \cosh\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\colon x\mapsto\frac{e^x+e^{-x}}{2}$   und$\displaystyle \quad \sinh\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\colon x\mapsto\frac{e^x-e^{-x}}{2} $

.

a)
Berechnen Sie die Ableitungen $ \left.\frac{ d }{ d x}\cosh(x)\right\vert^{}_{x=x_0}$ und $ \left.\frac{ d }{ d x}\sinh(x)\right\vert^{}_{x=x_0}$ für $ x_0\in\mathbb{R}$.
b)
Schränken Sie $ \sinh$ und $ \cosh$ im Definitions- und Wertebereich auf geeignete Intervalle so ein, dass die beiden Umkehrfunktionen Areacosinus Hyperbolicus $ \operatorname{arcosh}$ und Areasinus Hyperbolicus $ \operatorname{arsinh}$ jeweils existieren und skizzieren Sie diese.
c)
Berechnen Sie $ \left.\frac{ d }{ d x}\operatorname{arcosh}(x)\right\vert^{}_{x=x_0}$ und $ \left.\frac{ d }{ d x}\operatorname{arsinh}(x)\right\vert^{}_{x=x_0}$ mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion.
d)
Zeigen Sie, dass für alle $ x$ in den jeweiligen Definitionsbereichen gilt:

$\displaystyle \operatorname{arcosh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$   und$\displaystyle \quad \operatorname{arsinh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\,$.

Hinweis: Substituieren Sie hierzu $ \tilde{x}=e^x$ in der Definition von $ \cosh$ und $ \sinh$.
e)
Bestimmen Sie nun anhand dieser Formeln erneut die Ableitungen $ \left.\frac{ d }{ d x}\operatorname{arcosh}(x)\right\vert^{}_{x=x_0}$ und $ \left.\frac{ d }{ d x}\operatorname{arsinh}(x)\right\vert^{}_{x=x_0}$. Verifizieren Sie damit Ihr Ergebnis, das Sie über die Ableitung der Umkehrfunktion gewonnen haben.
(Aus: HM II Stroppel SS 2006)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 28.  8. 2006