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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 180: Inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Differentialgleichung

$\displaystyle y''+2y'+2y=2+2x-\sin x-2\cos x.$ (1)


a)
Geben Sie die allgemeine reelle Lösung $ y_h(x)$ des zu (1) gehörigen homogenen Problems an. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert $ {\displaystyle{\lim_{x\to\infty} y_h(x)}}$.
b)
Berechnen Sie mit Hilfe spezieller Ansätze eine Partikulärlösung von (1). Geben Sie diejenige Lösung $ y(x)$ an, welche $ y(0)=y'(0)=0$ erfüllt. Wie lautet dann die Taylor-Entwicklung von $ y(x)$ um $ x_0=0$ bis zur Ordnung 2?
c)
Bestimmen Sie den Parameter $ a\in\mathbb{R}$ so, daß das Problem

$\displaystyle y''+2y'+2y=2+2x-\sin x-2\cos x, \quad y(0)=0, \quad y(\pi)=a,$ (2)

lösbar ist, und geben Sie für diese Werte von $ a$ die Lösungsmenge von (2) an.

(Aus: Prüfungsaufgabe HM I/II (Kimmerle), F 1999)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005