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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 188: Partialbruchzerlegung mit Taylorentwicklung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Betrachten Sie die Funktion

$\displaystyle f(x) = \frac{3x^2-2x+4}{x^3-3x^2+4} \ . $

a)
Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von $ f$ .
b)
Zeigen Sie, daß die Funktion $ g(x) = \frac{\mbox{$1$}}{\mbox{$(x-2)^2$}} $ bei der Entwicklung um den Punkt $ x=0$ die Taylor-Reihe $ \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\mbox{$n+1$}}{\mbox{$2^{n+2}$}} x^n $ hat und bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Reihe.
c)
Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung von $ f$ um den Entwicklungspunkt $ x_0=0$ und geben Sie deren Konvergenzradius und eine allgemeine Formel für $ f^{(n)}(0)$ an.
(Aus: H94, Wendland)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 17. 12. 2007