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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 24: Spur von Matrizen, Spur(CD)=Spur(DC)

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Unter der $ {\operatorname{Spur}}(A)$ einer quadratischen $ n\times n$-Matrix $ A=(a_{ij})$ versteht man die Summe ihrer Diagonalelemente, d.h. $ {\operatorname{Spur}}(A):=a_{11}+ \ldots + a_{nn}$.
a)
Berechnen Sie $ {\operatorname{Spur}}(AB)$ und $ {\operatorname{Spur}}(BA)$ für die Matrizen

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \qu... ...mbox{und}} \quad B=\left(\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{array}\right). $

b)
Zeigen Sie, daß $ {\operatorname{Spur}}(CD)={\operatorname{Spur}}(DC)$ für beliebige $ n\times n$-Matrizen $ C$ und $ D$ gilt.
c)
Gilt auch $ {\operatorname{Spur}}(CD) = {\operatorname{Spur}}(C)\cdot {\operatorname{Spur}}(D)$, für alle $ C, D\in\mathbb{R}^{\mathit{n\times n}}$ ?

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005