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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 293: Beziehung zwischen Rotation und Divergenz

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Für das Spatprodukt dreier Vektoren gilt die Beziehung:

$\displaystyle a\cdot (b\times c) = c\cdot(a\times b)= -b \cdot (a\times c). $

Wendet man dies auf die ,,Nabla-Schreibweise `` für Divergenz und Rotation an so bekommt man die falschen Beziehungen

$\displaystyle \nabla\cdot (g_1\times g_2) = g_2\cdot(\nabla\times g_1) = -g_1 \cdot (\nabla\times g_2) $

beziehungsweise

$\displaystyle \mathrm{div} \left(g_1\times g_2\right) = g_2\cdot\mathrm{rot}~g_1= -g_1\cdot \mathrm{rot}~g_2\,. $

Hierbei sind $ g_1,g_2: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ stetig differenzierbare Vektorfelder. Ermitteln Sie die korrekte Beziehung zwischen $ \mathrm{div} \left(g_1\times g_2\right)$ und der Rotation von $ g_1$ und $ g_2$.

b)
Zeigen Sie für zwei stetig differenzierbare Funktionen $ f_1,f_2: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ die Beziehung $ \mathrm{div}\left(\operatorname{grad} f_1\times \operatorname{grad} f_2\right) =0\,.$
(Aus: HM III mach, bau, umw WS 2002/03)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005