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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 296: Potenzial, Kurvenintegral

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei das Vektorfeld

$\displaystyle K(x,y,z)=\left( \ln(zy),\frac{x}{y},\beta\frac{x}{z}\right)^\mathrm{t},\quad \beta\in \mathbb{R} $

im Gebiet $ G=\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}^3\vert\;y>0,z>0\}.$
  1. Für welchen Wert von $ \beta$ besitzt $ K$ ein Potential?
    Man bestimme für diesen Wert ein Potential $ \phi$ von $ K$ mit $ \phi(0,1,1)=0$.
  2. Für die geradlinige Verbindung $ C_1$ von (0,1,1) nach $ (x_0,y_0,z_0)$ in $ G$ berechne man

    $\displaystyle \int_{C_1} K dr $

    in den Fällen $ \beta=1$ und $ \beta=2$ (Achtung: Fallunterscheidung $ z=1, \;z\neq 1$).

    Hinweis: Warum ist die Darstellung

    $\displaystyle K(x,y,z) =\left( \ln(zy),\frac{x}{y},\frac{x}{z}\right)^\mathrm{t}+ (\beta-1)\left(0,0,\frac{x}{z}\right)^\mathrm{t} $

    hier nützlich?
  3. Für eine beliebige geschlossene, stetig differenzierbare Kurve $ C_2$ in G, die in einer Ebene $ x$ = const. liegt, ermittle man

    $\displaystyle \int_{C_2} K dr $

    Hinweis: Schränken Sie das Vektorfeld $ \tilde{K}(x,y,z)=\left(0,0,\frac{x}{z}\right)^\mathrm{t}$ auf $ x=x_0$ ein und betrachten Sie ein geignetes zweidimensionales Vektorfeld $ \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$.

(Aus: Werner Strauss, WS 1997/98)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005