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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 359: Flussberechnung mit und ohne Satz von Gauß, Schwerpunkt, Volumen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Der Körper $ M$ mit dem Grundrechteck

$\displaystyle S_1=\{(x,y): -1 \leq x \leq 1,\ 0\leq y\leq 1\} $

werde oben von der durch

$\displaystyle f(x,y)=(1-y)\sqrt{1-x^2}$   für $ (x,y)$ aus $ S_1$

gegebenen Fläche $ S_2$ begrenzt. Der Schnitt von $ M$ mit der Ebene $ y=0$ sei mit $ S_3$ bezeichnet.
a)
Skizzieren Sie $ M$ mit Hilfe von ebenen Schnitten $ x=const$ und $ y=const$ und berechnen Sie das Volumen von $ M$.
b)
Welche $ y$-Koordinate besitzt der Schwerpunkt von $ M$?
c)
Berechnen Sie für das Vektorfeld

$\displaystyle g(x,y,z) = \left(\sqrt{1-x^2},-\sqrt{1-x^2},xy-x-x^2\right)$

direkt die Flüsse $ \int_{S_i} g \cdot n\ dO$ durch die drei Randflächen $ S_1$, $ S_2$ und $ S_3$, sowie den Gesamtfluss von $ g$ durch die Oberfläche von $ M$. Diesen bestimme man auch mit Hilfe des Satzes von Gauß.
(Aus: HM III Kimmerle, WS2003/04)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005