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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 457: P-Norm

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Die Menge $ M=\left\{ x \in \mathbb{R}^n: \vert x_1\vert^p+ \cdots + \vert x_n\vert^p \leq 1 \right\}$ ist für $ 1 \leq p \le \infty$ konvex. Benutzen Sie dies, um zu zeigen, dass

$\displaystyle \Vert x \Vert _p = \left( \vert x_1\vert^p + \cdots + \vert x_n\vert^p\right)^{1/p} $

für $ p\geq 1$ eine Norm ist. Beweisen Sie ebenfalls die Ungleichung $ \Vert x \Vert _p \leq \Vert x \Vert _q $, $ p \geq q$, und zeigen Sie, dass $ \lim\limits_{p\rightarrow \infty} \Vert x \Vert _p = \max \vert x_k\vert.$
[Verweise]
  automatisch erstellt am 18.  1. 2017