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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 596: Roboter

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Ein Roboter besteht aus drei koplanaren Stangen $ s_1,\,s_2$ und $ s_3$ der Länge $ \vert s_1\vert=2,\,\vert s_2\vert=1$ und $ \vert s_3\vert=1$. Die Stange $ s_1$ ist im Boden drehbar gelagert (Winkel $ \alpha$), die Stangen $ s_1$ und $ s_2$ bzw. $ s_2$ und $ s_3$ sind durch Gelenke miteinander verbunden (Winkel $ \beta$ bzw. $ \gamma$). In der Ruhelage ist $ \beta=\gamma=\pi/2$, $ \alpha=0$, und der Arbeitspunkt $ A$ des Roboters befindet sich im Punkt $ f(0,\pi/2,\pi/2)=(1,0,1)$.

a)
Bestimmen Sie den Ort $ f(\alpha,\beta,\gamma)$ des Arbeitspunkts in Abhängigkeit von den drei Winkeln $ \alpha,\,\beta$ und $ \gamma$.
b)
Berechnen Sie die Jacobimatrix $ {\rm {J}}f(\alpha,\beta,\gamma)$ und zeigen Sie, daß der Roboter jeden Punkt in einer Umgebung der Ruhelage erreichen kann.
c)
Wie müssen die Winkel $ \alpha,\,\beta$ und $ \gamma$ näherungsweise eingestellt werden, um den Arbeitspunkt in einen Punkt $ (1+\Delta x,\Delta y,1+\Delta z)$ in der Nähe der Ruhelage zu steuern?

(Autor: Klaus Höllig)

Beispiel:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 18.  1. 2017