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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 886: Konvergenz von Reihen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

(1)
Für welche reelle $ \mbox{$\alpha > 0$}$ konvergiert die Reihe
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{n = 3}^\infty\frac{1}{n(\log n)^\alpha}\hspace*{1cm}{\mbox{?}} $}$
Entscheide dies mit dem Integralkriterium. Gib gegebenenfalls um $ \mbox{${\displaystyle\frac{1}{3(\log 3)^\alpha}}$}$ differierende obere und untere Schranken für den Wert der Summe an.

(2)
Schreibe $ \mbox{$\log^{[\nu]} x := \log(\log(\cdots \log(x)\cdots))$}$ für den $ \mbox{$\nu$}$-fach iterierten Logarithmus, für ganzes $ \mbox{$\nu\geq 0$}$ und reelles $ \mbox{$x>\exp^{[\nu]} 0 = \exp(\exp(\cdots\exp(0)\cdots))$}$. Speziell sei $ \mbox{$\log^{[0]} x := x$}$.

Sei $ \mbox{$m\geq 1$}$, sei $ \mbox{$N>\exp^{[m]} 0$}$. Etwas allgemeiner als in (1), für welche reelle $ \mbox{$\alpha > 0$}$ konvergiert die Reihe

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{n = N}^\infty\frac{1}{(\log^{[m]} n)^\alpha\cdot \prod_{\nu = 0}^{m-1} \log^{[\nu]} n}\hspace*{1cm}{\mbox{?}} $}$
Gib gegebenenfalls um $ \mbox{$\frac{1}{(\log^{[m]} N)^\alpha\cdot \prod_{\nu = 0}^{m-1} \log^{[\nu]} N}$}$ differierende obere und untere Schranken für den Wert der Summe an.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Lösungen:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005