Mathematik-Online-Lexikon: Metrischer Raum

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	Metrischer Raum

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Eine Menge

heißt metrischer Raum, wenn auf

eine Abstandsfunktion

mit folgenden Eigenschaften definiert ist:

Positivität

$\displaystyle d(x,y) \ge 0$ und $\displaystyle d(x,y)=0$ genau dann, wenn $\displaystyle x=y$
Symmetrie

$\displaystyle d(x,y)=d(y,x)$
Dreiecksungleichung

$\displaystyle d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

für alle $x,y,z\in M$ .

Die Funktion wird auch als Metrik von bezeichnet.

Durch die Metrik wird in kanonischer Weise eine Topologie auf definiert. Dazu bezeichnet man mit

$\displaystyle B(x_0;r)=\{ x\in M: d(x,x_0) < r\}$

die offene Kugel um

mit Radius

. Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt dann offen, wenn es zu jedem $x\in U$ einen Radius

gibt, so daß

$\displaystyle B(x;r)\subseteq U$

ist.

Beispiel:

automatisch erstellt am 19. 8. 2013