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Mathematik-Online-Lexikon:

Vervollständigung eines metrischen Raumes

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Ist die Abstandsfunktion $ d$ eines metrischen Raumes $ M$ auf einer Obermenge $ \widetilde{M}\supset M$ definiert, die alle Grenzwerte von Cauchy-Folgen in $ M$ enthält, so wird der Abschluss $ \overline{M}\subseteq\widetilde{M}$ bezüglich $ d$ als Vervollständigung von $ M$ bezeichnet.

Allgemein kann die Vervollständigung ohne Einbettung vom $ M$ in eine Obermenge definiert werden. Man identifiziert dazu $ \overline{M}$ mit Äquivalenzklassen konvergenter Folgen.

Die Vervollständigung spielt bei der Analyse stetiger Abbildungen eine wichtige Rolle. Eigenschaften, die auf $ M$ gelten, lassen sich durch Grenzwert-Bildung auf den Abschluß $ \overline{M}$ übertragen. Insbesondere ist eine stetige Abbildung durch ihre Werte auf $ M$ bereits eindeutig festgelegt.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013