Mathematik-Online-Lexikon: Kompakte und relativ kompakte Mengen in metrischen Räumen

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	Kompakte und relativ kompakte Mengen in metrischen Räumen

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Übersicht

Kompakte Teilmengen

eines metrischen Raumes

können auf drei äquivalente Arten charakterisiert werden.

Jede Überdeckung von mit offenen Mengen besitzt eine endliche Teilüberdeckung.
Jede Folge in besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in .
ist total beschränkt und vollständig.

Man beachte, dass die dritte Bedingung der im $\mathbb{R}^n$ geltenden Charakterisierung kompakter Mengen als beschränkt und abgeschlossen entspricht.

Eine Teilmenge eines metrischen Raumes wird als relativ kompakt bezeichnet, wenn der Abschluß $\overline{R}$ kompakt ist, oder äquivalent dazu, wenn jede Folge in eine konvergente Teilfolge besitzt.

Beispiel:

Beispiel: Kompakte und relativ kompakte Mengen in metrischen Räumen

[Verweise]

automatisch erstellt am 19. 8. 2013