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Mathematik-Online-Lexikon:

Beschränkte Funktionen

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Für ein Gebiet $ D\subseteq\mathbb{R}^n$ bezeichnet $ L^\infty(D)$ den Banach-Raum der Lebesgue-meßbaren Funktionen $ f$, die bis auf eine Nullmenge beschränkt sind, d. h.

$\displaystyle \vert f(x)\vert \le c < \infty $

fast überall. Die kleinste Schranke $ c$ wird mit

$\displaystyle \Vert f\Vert _\infty =\underset{x\in D}{\operatorname{ess\ sup}} \vert f(x)\vert $

bezeichnet.

Der Raum $ L^\infty(D)$ ist ein echter Teilraum des Raumes aller fast überall beschränkten Funktionen auf $ D$. Beide Räume lassen sich bezüglich $ \Vert\cdot\Vert _\infty$ nicht durch Approximation mit stetigen Funktionen konstruieren. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den Räumen $ L^p(D)$ der $ p$-integrierbaren Funktionen.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013