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Mathematik-Online-Lexikon:

Hölder-Ungleichung für Integrale

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Es sei $ f\in L^p(D)$ und $ g\in L^q(D)$ mit $ 1<p<\infty$ und $ 1/p+1/q=1$. Dann ist $ fg \in L^1(D)$ und es gilt die Höldersche Ungleichung

$\displaystyle \int\limits_D \vert f(x)g(x)\vert\,dx \le \left(\int\limits_D \v... ...t^p\,dx\right)^{1/p} \left(\int\limits_D \vert g(x)\vert^q\,dx\right)^{1/q}\,. $

Gleichheit gilt dabei genau dann, wenn eine der Funktionen $ \vert f\vert^p$, $ \vert g\vert^q$ fast überall ein Vielfaches der anderen ist.

Für den Grenzfall $ p=\infty$, $ q=1$ (bzw. $ p=1$, $ q=\infty$ mit $ f$ und $ g$ vertauscht) gilt

$\displaystyle \int\limits_D \vert f(x)g(x)\vert\,dx \le \Vert f\Vert _\infty \int\limits_D \vert g(x)\vert\,dx\,. $

Für $ p=q=2$ wird diese Ungleichung auch als Cauchy-Schwarzsche Ungleichung bezeichnet.

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013