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Mathematik-Online-Lexikon:

Hilbert-Raum

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Ein Hilbert-Raum $ H$ ist ein vollständiger normierter (reeller oder komplexer) Vektorraum, bei dem die Norm durch ein Skalarprodukt definiert ist:

$\displaystyle \Vert v\Vert=\sqrt{\langle v,v\rangle}\,. $

Insbesondere gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

$\displaystyle \vert\langle u,v\rangle\vert \le \Vert u\Vert\Vert v\Vert $

sowie die Parallelogramm-Identität

$\displaystyle \Vert u+v\Vert^2+\Vert u-v\Vert^2=2\Vert u\Vert^2+2\Vert v\Vert^2\,. $

Man bezeichnet einen Hilbert-Raum als separabel, wenn eine abzählbare orthonormale Basis

$\displaystyle e_1,e_2,\ldots,\quad \langle e_i, e_j\rangle =\delta_{i,j}\,, $

existiert. In diesem Fall besitzt jedes $ v\in H$ die Fourier-Entwicklung

$\displaystyle v=\sum_{k=1}^\infty \langle v, e_k\rangle e_k\,, $

die bzgl. obiger Norm konvergiert.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013