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Mathematik-Online-Lexikon:

Diskretisierungsfehler

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Sei

$\displaystyle u(t)\approx v \to w = v + h \Phi(t,h,w,v,f) \approx u(t+h) $

ein Schritt eines Einschrittverfahrens zur Approximation der Lösung $ (u_1(t),\ldots,u_d(t))^t$ eines Differentialgleichungssystems

$\displaystyle u^\prime = f(t,u) \,. $

Dann bezeichnet man

$\displaystyle \Delta (t,h) = \frac{u(t+h)-u(t)}{h} - \Phi(r,h,u(t+h),u(t),f) $

als Diskretisierungsfehler. Der Vektor $ \Delta$ ist also die Diskrepanz, die beim Einsetzen der exakten Lösung in die Verfahrensfunktion $ \Phi$ entsteht.

Gilt bei glattem $ f$

$\displaystyle \Vert\Delta(t,h)\Vert = O( h^m) $

für alle glatten Lösungen $ u$ , und ist der Exponent $ m$ bestmöglich, so hat das Verfahren die Ordnung $ m$ . Ein Verfahren mit einer Ordnung $ m\ge1$ bezeichnet man als konsistent.

Die Ordnung kann mit Taylor-Entwicklung bestimmt werden. Sie ist die kleinste natürliche Zahl $ m$ , für die die Ableitung

$\displaystyle \partial^m_h\Delta(t,h)_{\vert h=0} = \frac{1}{m+1}u^{(m+1)}(t) - \partial^m_h\Phi(t,h,u(t+h),u(t),f)_{\vert h=0} $

nicht verschwindet. Dabei können Ableitungen von $ u$ mit Hilfe des Differentialgleichungssystems eliminiert werden. Benutzt man die Abkürzungen

$\displaystyle f^{j,k,\ldots}_{i,t,\ldots,t} = \partial_t\ldots\partial_t \frac{\partial}{\partial u_j} \frac{\partial}{\partial u_k} \cdots f_i(t,u(t)) $

so gilt nach der Kettenregel
$\displaystyle u^\prime_i(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f_i$  
$\displaystyle u^{\prime\prime}_i(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f_{i,t} + \sum_{j=1}^d f^j_i f_j$  
$\displaystyle u^{\prime\prime\prime}_i(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f_{i,t,t} + \sum_{j=1}^d(2f^j_{i,t}f_j + f^j_if_{j,t}) + \sum_{j,k=1}^d (f^{j,k}_if_jf_k + f^j_if^k_jf_k)$  

usw..

Erläuterung:

[Beispiele] [Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013