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Mathematik-Online-Lexikon:

Explizites Einschritt-Verfahren von Euler

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Ein elementares Verfahren zur Approximation der Lösung $ (u_1(t),\dots,u_d(t)^\mathrm{t}$ einer Differentialgleichung $ u^\prime =f(t,u)$ basiert auf der Taylor-Approximation

$\displaystyle u(t+h) = u(t) + h \underbrace{u^\prime(t)}_{f(t,u(t))} + O(h^2) \,. $

Bei Vernachlässigung von Termen zweiter Ordnung erhält man das Verfahren

$\displaystyle u_{\ell+1}^h$ $\displaystyle = u_\ell^h +h_\ell f(t^h_\ell,u_\ell^h)$    
$\displaystyle u_0^h$ $\displaystyle = u(t_0) \,.$    

Für stetig differenzierbare Funktionen $ f$ gilt für den Fehler bei konstanter Schrittweite

$\displaystyle \vert u( t^h_\ell) -u_\ell^h\vert = O(h) $

auf einem festen Intervall $ \left[t_0,t_0+T\right]\ni t^h_\ell=t_0+ \ell h$.

Beispiel:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013