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Mathematik-Online-Lexikon:

Gauß-Runge-Kutta-Verfahren

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Das Gauß-Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung $ 2n$ ist ein $ n$ -stufiges implizites Verfahren maximaler Ordnung $ 2n$ . Seine Parameter

$\displaystyle R = \left(\begin{array}{c\vert c} A & c \\ \hline b^ \mathrm{t} & \end{array}\right) $

werden mit Hilfe des Legendre-Polynoms $ p$ vom Grad $ n$ definiert. Die Stützstellen $ c_1 < \cdots < c_n$ sind die auf das Intervall $ [0,1]$ transformierten Nullstellen von $ p$ , die Gewichte $ b_1,\ldots,b_n$ die Integrale der Lagrange-Polynome,

$\displaystyle b_j = \int\limits_0^1 q_j(s)\,ds \,,\quad q_j(s) = \prod\limits_{{k=1 \atop k\neq j}}^n \frac{s-c_k}{c_j-c_k}\,. $

und

$\displaystyle a_{j,k} = \int\limits_0^{c_j} q_k(s)\,ds \,. $

Da für ein Verfahrensschritt ein nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden muss, sind die Gauß-Runge-Kutta-Verfahren vor allem für lineare Differentialgleichungssysteme geeignet.

Beispiele:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013